第2章｜統計数理

事象と確率、分布の表し方

包除原理、条件付き確率とベイズの定理、独立性、CDF・生存関数・ハザード、同時・周辺・条件付き分布、条件付き期待値

この章で学ぶこと

確率の公理と包除原理：「または」の確率を重なりを数え直して求める
条件付き確率とベイズの定理：情報が増えたときに確率をどう更新するか
独立性：2つの事象の独立と、3つ以上の事象の独立の違い
累積分布関数・生存関数・ハザード：1つの確率変数の分布を関数で表す
同時分布・周辺分布・条件付き分布と条件付き期待値：2つの確率変数をまとめて扱う

2.1 事象と確率、包除原理

確率の計算は、起こりうる結果の集合と、その部分集合に確率を割り当てる規則から始まります。この節では言葉と規則を確認し、「 $A$ または $B$ または $C$ 」の確率を求める包除原理を導きます。

標本空間と事象

試行で起こりうる結果をすべて集めた集合を標本空間といい、 $Ω$ と書きます。サイコロを1回投げるなら $Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ です。 $Ω$ の部分集合を事象といいます。「偶数の目が出る」は事象 ${2, 4, 6}$ です。

$A \cup B$ （和事象）は「 $A$ または $B$ 」、 $A \cap B$ （積事象）は「 $A$ かつ $B$ 」です。
$A^{c}$ （余事象）は「 $A$ が起こらない」で、 $Ω$ から $A$ を除いた集合です。
$A \cap B = \emptyset$ （共通部分がない）のとき、 $A$ と $B$ は排反であるといいます。

確率の公理

事象 $A$ に数 $P (A)$ を割り当てる規則 $P$ が次の3つを満たすとき、 $P$ を確率といいます。

すべての事象 $A$ で $P (A) \geq 0$
$P (Ω) = 1$
互いに排反な事象の列 $A_{1}, A_{2}, \dots$ に対して $P (⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i}) = \sum_{i = 1}^{\infty} P (A_{i})$

3つ目を可算加法性といいます。「重ならない事象の確率は足し算できる」という規則を、無限個の事象にまで認めたものです。この3つから、次の性質が導かれます。

P (A^{c}) P (A \cup B) = 1 - P (A) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

2つ目の式は、 $P (A) + P (B)$ では $A \cap B$ の部分を2回数えているので、1回分を引く、という意味です。

包除原理

3つの事象では、次のようになります。

P (A \cup B \cup C) = P (A) + P (B) + P (C) - P (A \cap B) - P (A \cap C) - P (B \cap C) + P (A \cap B \cap C)

理由は、各部分が何回数えられているかを見るとわかります。 $P (A) + P (B) + P (C)$ と足したときの回数を、図2-1に書き込みました。

図2-1　

P (A) + P (B) + P (C)

で各部分が数えられる回数。2つだけの重なりは2回、3つの重なり

A \cap B \cap C

は3回数えられている

2つだけが重なる部分は2回数えられているので、 $P (A \cap B)$ などを引いて1回に直します。ところが真ん中の $A \cap B \cap C$ は3回数えられていて、3つの $P (A \cap B)$ 、 $P (A \cap C)$ 、 $P (B \cap C)$ のどれにも含まれるので3回引かれ、0回になってしまいます。そこで最後に $P (A \cap B \cap C)$ を足して1回に戻します。こうして、どの部分もちょうど1回ずつ数えられます。

$n$ 個の事象でも同じ考え方で、「1つずつの和 − 2つの共通部分の和 + 3つの共通部分の和 − …」となります。

包除原理

P (i = 1 ⋃ n A_{i}) = k = 1 \sum n (- 1)^{k + 1} S_{k}

S_{k} = i_{1} < \dots < i_{k} \sum P (A_{i_{1}} \cap \dots \cap A_{i_{k}})

$S_{k}$ は、 $n$ 個から $k$ 個を選ぶすべての選び方について、その $k$ 個の共通部分の確率を足したものです。

例：モンモールの問題（席の取り違え）

$n$ 人が自分の席を1つずつ持っていて、全員がでたらめに（ $n!$ 通りの並び方が同じ確率で）座ります。少なくとも1人が自分の席に座る確率を求めます。

$A_{i}$ を「 $i$ 番目の人が自分の席に座る」とします。決まった $k$ 人が全員自分の席に座る並び方は、残り $n - k$ 人の並べ方だけなので $(n - k)!$ 通りです。 $k$ 人の選び方は $(k n)$ 通りなので

S_{k} = (k n) \frac{( n - k )!}{n !} = \frac{1}{k !}

です。包除原理より

P (i = 1 ⋃ n A_{i}) = k = 1 \sum n \frac{( - 1 ) ^{k + 1}}{k !} = 1 - \frac{1}{2 !} + \frac{1}{3 !} - \dots

となります。誰も自分の席に座らない確率はその余事象なので $\sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} / k!$ で、 $e^{x} = \sum_{k = 0}^{\infty} x^{k} / k!$ に $x = - 1$ を入れた式と比べると、 $n \to \infty$ で $e^{- 1} \approx 0.368$ に近づきます。 $n = 3$ なら $1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ で、6通りの並び方のうち誰も自分の席でないものが2通りあることと一致します。

2.2 条件付き確率とベイズの定理

「 $B$ が起こった」と分かったときの $A$ の確率を、条件付き確率といいます。ベイズの定理は、その向きを入れ替えて「 $A$ が起きたとき、原因が $B_{j}$ である確率」を求める式です。

定義（条件付き確率）

$P (B) > 0$ のとき、 $B$ が起こったという条件のもとでの $A$ の条件付き確率を

P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}

と定めます。

$B$ が起こったと分かれば、考える範囲は $Ω$ 全体から $B$ に狭まります。その中で $A$ も起こる部分 $A \cap B$ が占める割合が $P (A ∣ B)$ です。分母を払うと乗法定理 $P (A \cap B) = P (A ∣ B) P (B)$ になります。

全確率の公式

事象 $B_{1}, \dots, B_{k}$ が互いに排反で、合わせると $Ω$ 全体になるとき、これを $Ω$ の分割といいます。このとき、どんな事象 $A$ についても

P (A) = i = 1 \sum k P (A ∣ B_{i}) P (B_{i})

が成り立ちます。これを全確率の公式といいます。図2-2のように、 $A$ は分割によって重ならない部分 $A \cap B_{1}, \dots, A \cap B_{k}$ に切り分けられます。

図2-2　

B_{1}, B_{2}, B_{3}

が

Ω

を分割していると、

A

は重ならない3つの部分に分かれる。

P (A)

はその3つの確率の和

可算加法性から $P (A) = \sum_{i} P (A \cap B_{i})$ で、各項に乗法定理 $P (A \cap B_{i}) = P (A ∣ B_{i}) P (B_{i})$ を使うと全確率の公式になります。

ベイズの定理

$B_{1}, \dots, B_{k}$ が $Ω$ の分割で、 $P (A) > 0$ 、 $P (B_{i}) > 0$ のとき

P (B_{j} ∣ A) = \frac{P ( A ∣ B _{j} ) P ( B _{j} )}{\sum _{i = 1}^{k} P ( A ∣ B _{i} ) P ( B _{i} )}

導き方は、条件付き確率の定義 $P (B_{j} ∣ A) = P (A \cap B_{j}) / P (A)$ の分子に乗法定理を、分母に全確率の公式を使うだけです。 $B_{j}$ を「原因」、 $A$ を「観測された結果」と見ると、 $P (B_{j})$ は結果を見る前の確率で事前確率、 $P (B_{j} ∣ A)$ は結果を見た後の確率で事後確率と呼ばれます。

例：検査で陽性になった人が病気である確率

ある病気の人の割合が1%で、検査は病気の人の99%を陽性と判定し、病気でない人の5%も陽性と判定するとします。 $D$ を「病気である」、 $T$ を「陽性」とすると、 $D, D^{c}$ が分割です。

P (T) = P (T ∣ D) P (D) + P (T ∣ D^{c}) P (D^{c}) = 0.99 \times 0.01 + 0.05 \times 0.99 = 0.0099 + 0.0495 = 0.0594

P (D ∣ T) = \frac{0.0099}{0.0594} = \frac{1}{6} \approx 0.167

陽性でも、病気である確率は約17%です。病気でない人がずっと多いので、その5%の誤判定が陽性の大部分を占めるからです。

答案では、どの事象で分割したか（ここでは $D$ と $D^{c}$ ）を最初に書き、全確率の公式で分母を出してからベイズの定理に入ると、採点者に流れが伝わります。

2.3 独立性

2つの事象が独立とは、一方が起こったと分かっても、もう一方の確率が変わらないことです。3つ以上の事象では、どの組み合わせについても積の式が成り立つことを要求します。

定義（事象の独立）

$P (A \cap B) = P (A) P (B)$ のとき、 $A$ と $B$ は独立であるといいます。 $P (B) > 0$ なら、これは $P (A ∣ B) = P (A)$ と同じです。

3つの事象 $A, B, C$ が相互独立であるとは、次の4つがすべて成り立つことです。

P (A \cap B) P (A \cap C) P (B \cap C) P (A \cap B \cap C) = P (A) P (B), = P (A) P (C), = P (B) P (C), = P (A) P (B) P (C)

$n$ 個の事象では、2個以上のどの組み合わせを選んでも、その共通部分の確率が確率の積になることを要求します。

最初の3つだけが成り立つことを対ごとに独立といいます。対ごとに独立でも、相互独立とは限りません。

例：対ごとに独立だが相互独立でない

公正なコインを2回投げ、 $A$ ＝「1回目が表」、 $B$ ＝「2回目が表」、 $C$ ＝「2回の結果が一致する」とします。結果は（表表）（表裏）（裏表）（裏裏）の4通りで、どれも確率 $1/4$ です。

$P (A) = P (B) = P (C) = \frac{1}{2}$ です（ $C$ は（表表）（裏裏）の2通り）。
$A \cap B$ 、 $A \cap C$ 、 $B \cap C$ はどれも（表表）だけなので、確率は $\frac{1}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ で、対ごとに独立です。
しかし $A \cap B \cap C$ も（表表）だけで $P (A \cap B \cap C) = \frac{1}{4}$ となり、 $P (A) P (B) P (C) = \frac{1}{8}$ と一致しません。

$A$ と $B$ が両方起これば $C$ は必ず起こるので、3つをまとめて見ると独立ではありません。

なお、 $A$ と $B$ が独立なら、 $A$ と $B^{c}$ 、 $A^{c}$ と $B$ 、 $A^{c}$ と $B^{c}$ もそれぞれ独立です。たとえば $A$ と $B^{c}$ については次のとおりです。

P (A \cap B^{c}) = P (A) - P (A \cap B) = P (A) {1 - P (B)} = P (A) P (B^{c})

2.4 分布の表し方：CDF・生存関数・ハザード

確率変数の分布は、累積分布関数1つで、離散型・連続型の区別なく表せます。寿命や待ち時間を扱うときは、それを裏返した生存関数と、そこから作るハザードを使います。

確率変数と累積分布関数

試行の結果に数を対応させる関数を確率変数といいます。コインを2回投げたときの「表の回数」 $X$ は、（表表）に2、（表裏）と（裏表）に1、（裏裏）に0を対応させる確率変数です。

定義（累積分布関数）

確率変数 $X$ の累積分布関数（CDF）を、実数 $x$ に対して

F (x) = P (X \leq x)

と定めます。

CDF は次の性質をもちます。

非減少： $x < y$ なら $F (x) \leq F (y)$ 。
$x \to - \infty$ で $F (x) \to 0$ 、 $x \to \infty$ で $F (x) \to 1$ 。
右連続： $x$ に右側から近づいたときの極限が $F (x)$ に一致する。

区間の確率は $P (a < X \leq b) = F (b) - F (a)$ で求められます。1点の確率は、その点での跳びの大きさ $P (X = x) = F (x) - F (x -)$ です。ここで $F (x -)$ は $x$ に左側から近づいたときの極限です。

値が飛び飛びの確率変数を離散型といい、 $p (x) = P (X = x)$ を確率関数といいます。 $F (x) = \sum_{t \leq x} p (t)$ なので、CDF は値のところで $p (x)$ だけ跳ぶ階段になります。一方、 $F (x) = \int_{- \infty}^{x} f (t) d t$ と書ける $f (\geq 0)$ があるとき連続型といい、 $f$ を確率密度関数といいます。このとき CDF は跳びのない連続な曲線で、 $f$ が連続な点では $F^{'} (x) = f (x)$ です。図2-3で2つを比べます。

図2-3　左：コインを2回投げたときの表の回数

X

のCDF。

x = 0, 1, 2

で確率

\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}

だけ跳ぶ階段で、黒丸の側（右側）の値をとる。右：密度

e^{- x} (x > 0)

の指数分布のCDF。跳びがなく、各点の傾きが密度

図2-3の左では、たとえば $x = 1$ での跳びの大きさ $\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ が $P (X = 1)$ です。段の左端が黒丸なのは、 $F (1) = P (X \leq 1)$ が $X = 1$ を含むから（右連続だから）です。右の連続型では跳びがないので、どの1点でも $P (X = x) = 0$ です。

CDF は跳びと連続な部分を両方もつこともあります。たとえば確率 $\frac{1}{2}$ で $X = 0$ 、確率 $\frac{1}{2}$ で密度 $e^{- x}$ の指数分布に従う $X$ では、 $x \geq 0$ で $F (x) = 1 - \frac{1}{2} e^{- x}$ となり、 $x = 0$ で $\frac{1}{2}$ だけ跳んだあと連続に増えます。このような分布も CDF なら同じ形で扱えます。

生存関数とハザード

$X$ を機械の寿命のような正の値をとる連続型の確率変数とします。寿命の分析では、「 $x$ までに壊れる確率」 $F (x)$ よりも、「 $x$ を超えて生き残る確率」を使うほうが自然です。

定義（生存関数とハザード）

S (x) = P (X > x) = 1 - F (x)

を生存関数といいます。密度 $f$ をもつとき、 $S (x) > 0$ となる $x$ で

h (x) = \frac{f ( x )}{S ( x )}

をハザード関数（危険率、故障率）といいます。

ハザードは、「 $x$ まで壊れなかった」という条件のもとで、直後の短い時間 $Δ$ に壊れる確率を $Δ$ で割ったもの（単位時間あたりの壊れやすさ）です。実際、条件付き確率の定義から

\frac{P ( x < X \leq x + Δ ∣ X > x )}{Δ} = \frac{F ( x + Δ ) - F ( x )}{Δ} \cdot \frac{1}{S ( x )} \to \frac{f ( x )}{S ( x )} (Δ \to 0)

となります。密度 $f (x)$ が「最初から見て $x$ 付近で壊れる割合」なのに対し、 $h (x)$ は「 $x$ まで生き残ったものの中で $x$ 付近で壊れる割合」です。

$S^{'} (x) = - f (x)$ なので $h (x) = - \frac{d}{d x} lo g S (x)$ です。 $S (0) = 1$ として両辺を $0$ から $x$ まで積分すると、ハザードから生存関数が復元できます。

S (x) = exp (- \int_{0}^{x} h (t) d t)

例：ハザードが一定なら指数分布

密度 $f (x) = λ e^{- λ x} (x > 0)$ の指数分布では $S (x) = e^{- λ x}$ なので、 $h (x) = λ e^{- λ x} / e^{- λ x} = λ$ で一定です。

逆に、正の値をとる $X$ のハザードが一定値 $λ$ なら、上の式から $S (x) = exp (- λ x)$ となり、 $X$ は指数分布に従います。つまりハザードが一定であることと、指数分布であることは同じです。

このとき

P (X > s + t ∣ X > s) = \frac{S ( s + t )}{S ( s )} = e^{- λ t} = P (X > t)

となり、すでに $s$ だけ生き残っていても、その先の寿命の分布は新品と変わりません。

2.5 同時分布・周辺分布・条件付き分布

2つの確率変数 $X, Y$ をまとめて見た分布が同時分布です。同時分布から、片方だけの分布（周辺分布）と、片方の値を決めたときのもう片方の分布（条件付き分布）が求められます。

離散型：表で考える

$X, Y$ が離散型なら、 $p (x, y) = P (X = x, Y = y)$ を同時確率関数といいます。表2-1はその例です。

	$Y = 0$	$Y = 1$	$X$ の周辺
$X = 0$	0.1	0.2	0.3
$X = 1$	0.2	0.1	0.3
$X = 2$	0.1	0.3	0.4
$Y$ の周辺	0.4	0.6	1

表2-1　同時確率関数 $p (x, y)$ （内側の6マス）と周辺確率関数（太字）

表2-1の各行を横に足すと $X$ だけの分布が、各列を縦に足すと $Y$ だけの分布が得られます。

p_{X} (x) p_{Y} (y) = y \sum p (x, y) = x \sum p (x, y)

これを周辺確率関数といいます。表の余白（周辺）に書けることからこの名前があります。

$Y = y$ と分かったときの $X$ の分布は、表の $Y = y$ の列だけを取り出し、合計が1になるように列の和で割ったものです。

p_{X ∣ Y} (x ∣ y) = \frac{p ( x , y )}{p _{Y} ( y )} (p_{Y} (y) > 0)

これを条件付き確率関数といいます。表2-1で $Y = 1$ の列を $0.6$ で割ると、 $X = 0, 1, 2$ の確率は $\frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2}$ です。 $Y = 0$ の列を $0.4$ で割ると $\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ です。 $Y$ の値によって $X$ の分布が変わっています。

定義（確率変数の独立）

すべての $x, y$ で $p (x, y) = p_{X} (x) p_{Y} (y)$ （連続型なら $f (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)$ ）が成り立つとき、 $X$ と $Y$ は独立であるといいます。条件付き分布で言えば、 $Y$ の値によらず $X$ の条件付き分布が周辺分布に等しいことです。

表2-1では $p (0, 0) = 0.1$ に対して $p_{X} (0) p_{Y} (0) = 0.3 \times 0.4 = 0.12$ なので、 $X$ と $Y$ は独立ではありません。

連続型：積分で考える

連続型では、 $P ((X, Y) \in D) = \iint_{D} f (x, y) d x d y$ となる $f (x, y)$ を同時密度関数といいます。和が積分に変わるだけで、離散型と同じ形の式が成り立ちます。

f_{X} (x) f_{Y} (y) f_{X ∣ Y} (x ∣ y) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x, y) d y = \int_{- \infty}^{\infty} f (x, y) d x = \frac{f ( x , y )}{f _{Y} ( y )} (f_{Y} (y) > 0)

$f_{X}, f_{Y}$ を周辺密度関数、 $f_{X ∣ Y}$ を条件付き密度関数といいます。実際の計算でいちばん間違えやすいのは積分の範囲です。密度が正になる領域を図に描いて、範囲を読み取ります。

例：三角形の上の一様な同時密度

$f (x, y) = 2 (0 < y < x < 1)$ 、それ以外では $0$ とします。密度が正の領域は、図2-4の三角形です（面積 $\frac{1}{2}$ なので、 $2$ を掛けると全体の確率が1になります）。

図2-4　同時密度が正の領域

0 < y < x < 1

（青）。

Y = y

で横に切ると、

x

の動く範囲は

y < x < 1

（赤線）

$Y$ の周辺密度は、図2-4の高さ $y$ の横線に沿って $x$ で積分します。赤線のとおり $x$ は $y$ から $1$ まで動くので、 $0 < y < 1$ で

f_{Y} (y) = \int_{y}^{1} 2 d x = 2 (1 - y)

です。同じように縦に切ると $y$ は $0$ から $x$ まで動くので、 $f_{X} (x) = \int_{0}^{x} 2 d y = 2 x (0 < x < 1)$ です。

$Y = y$ のもとでの $X$ の条件付き密度は、 $y < x < 1$ で

f_{X ∣ Y} (x ∣ y) = \frac{2}{2 ( 1 - y )} = \frac{1}{1 - y}

で、赤線の区間 $(y, 1)$ 上の一様分布です。 $f_{X} (x) f_{Y} (y) = 4 x (1 - y)$ は $f (x, y)$ と一致しないので、 $X$ と $Y$ は独立ではありません。 $x$ の動く範囲が $y$ によって変わることからも、独立でないことがわかります。

2.6 条件付き期待値

条件付き分布の平均が条件付き期待値です。条件付き期待値の平均をとるともとの期待値に戻り（繰り返し期待値の法則）、分散は「条件付き分散の平均」と「条件付き期待値の分散」の和に分かれます（全分散の公式）。

定義（条件付き期待値）

$Y = y$ のもとでの $X$ の条件付き期待値を、条件付き分布の平均として定めます。

離散型なら

E [X ∣ Y = y] = x \sum x p_{X ∣ Y} (x ∣ y)

連続型なら

E [X ∣ Y = y] = \int_{- \infty}^{\infty} x f_{X ∣ Y} (x ∣ y) d x

これは $y$ の関数です。それを $g (y)$ と書いたとき、 $y$ に確率変数 $Y$ を入れた $g (Y)$ を $E [X ∣ Y]$ と書きます。 $E [X ∣ Y]$ は $Y$ の値で決まる確率変数です。

繰り返し期待値の法則

E [E [X ∣ Y]] = E [X]

連続型で確かめます。条件付き密度の定義 $f_{X ∣ Y} (x ∣ y) f_{Y} (y) = f (x, y)$ を使うと

E [E [X ∣ Y]] = \int (\int x f_{X ∣ Y} (x ∣ y) d x) f_{Y} (y) d y = \iint x f (x, y) d x d y = E [X]

です。離散型でも積分を和に変えれば同じです。

例：表2-1で確かめる

2.5節で求めた条件付き分布から

E [X ∣ Y = 0] E [X ∣ Y = 1] = 0 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} = 1 = 0 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{7}{6}

です。 $E [X ∣ Y]$ は確率 $0.4$ で $1$ 、確率 $0.6$ で $\frac{7}{6}$ をとる確率変数なので

E [E [X ∣ Y]] = 0.4 \times 1 + 0.6 \times \frac{7}{6} = 1.1

です。周辺分布から直接求めると

E [X] = 0 \times 0.3 + 1 \times 0.3 + 2 \times 0.4 = 1.1

で、一致します。

全分散の公式

$Y = y$ のもとでの $X$ の条件付き分布の分散を条件付き分散 $V [X ∣ Y = y]$ といい、次の式で計算できます。

V [X ∣ Y = y] = E [X^{2} ∣ Y = y] - (E [X ∣ Y = y])^{2}

$y$ に $Y$ を入れたものが $V [X ∣ Y]$ です。

全分散の公式

V [X] = E [V [X ∣ Y]] + V [E [X ∣ Y]]

右辺の第1項は「 $Y$ を決めても残るばらつきの平均」、第2項は「 $Y$ によって平均が動くことによるばらつき」です。証明は、両方の項を2乗の期待値で書いて足すだけです。

E [V [X ∣ Y]] = E [E [X^{2} ∣ Y]] - E [(E [X ∣ Y])^{2}] = E [X^{2}] - E [(E [X ∣ Y])^{2}]

V [E [X ∣ Y]] = E [(E [X ∣ Y])^{2}] - (E [E [X ∣ Y]])^{2} = E [(E [X ∣ Y])^{2}] - (E [X])^{2}

どちらも繰り返し期待値の法則を使いました。2つを足すと $E [(E [X ∣ Y])^{2}]$ が消え、 $E [X^{2}] - (E [X])^{2} = V [X]$ が残ります。

例：図2-4の三角形で確かめる

2.5節の例では、 $Y = y$ のもとで $X$ は区間 $(y, 1)$ 上の一様分布でした。区間 $(a, b)$ 上の一様分布の平均は $\frac{a + b}{2}$ 、分散は $\frac{( b - a ) ^{2}}{12}$ なので

E [X ∣ Y] V [X ∣ Y] = \frac{1 + Y}{2} = \frac{( 1 - Y ) ^{2}}{12}

です。 $f_{Y} (y) = 2 (1 - y)$ を使って各項を計算します。

E [V [X ∣ Y]] = \int_{0}^{1} \frac{( 1 - y ) ^{2}}{12} 2 (1 - y) d y = \frac{1}{6} \int_{0}^{1} (1 - y)^{3} d y = \frac{1}{24}

V [E [X ∣ Y]] = \frac{1}{4} V [Y] = \frac{1}{4} (\frac{1}{6} - \frac{1}{9}) = \frac{1}{72}

ここで $E [Y] = \int_{0}^{1} y \cdot 2 (1 - y) d y = \frac{1}{3}$ 、 $E [Y^{2}] = \int_{0}^{1} y^{2} \cdot 2 (1 - y) d y = \frac{1}{6}$ を使いました。合計は $\frac{1}{24} + \frac{1}{72} = \frac{1}{18}$ です。

一方、 $f_{X} (x) = 2 x$ から直接求めると $E [X] = \frac{2}{3}$ 、 $E [X^{2}] = \frac{1}{2}$ なので $V [X] = \frac{1}{2} - \frac{4}{9} = \frac{1}{18}$ で、一致します。

包除原理: 和事象の確率を「1つずつの和 − 2つの共通部分の和 + 3つの共通部分の和 − …」で求める式。
条件付き確率: $P (A ∣ B) = P (A \cap B) / P (B)$ 。 $B$ の中で $A$ が占める割合。
ベイズの定理: 分割 $B_{i}$ について、 $P (B_{j} ∣ A)$ を $P (A ∣ B_{j}) P (B_{j})$ と全確率の公式から求める式。事前確率を事後確率に更新する。
相互独立: 2個以上のどの組み合わせでも、共通部分の確率が確率の積になること。対ごとの独立より強い。
累積分布関数 $F$: $F (x) = P (X \leq x)$ 。非減少・右連続で、跳びの大きさが1点の確率。
生存関数・ハザード: $S (x) = 1 - F (x)$ 、 $h (x) = f (x) / S (x)$ 。 $S (x) = exp (- \int_{0}^{x} h)$ 。ハザード一定 ⇔ 指数分布。
周辺分布・条件付き分布: 同時分布を片方の変数について足す（積分する）と周辺分布、片方の値で切って周辺で割ると条件付き分布。
条件付き期待値 $E [X ∣ Y]$: 条件付き分布の平均に $Y$ を入れた確率変数。 $E [E [X ∣ Y]] = E [X]$ 。

試験に出るポイント

「少なくとも1つ」の確率は、余事象か包除原理で求める。包除原理では $S_{k}$ が対称な形（モンモールの問題の $1/ k!$ など）になることが多い。
ベイズの定理の答案では、分割を明示し、全確率の公式で分母を出してから代入する。
相互独立は、2つずつの積の式に加えて3つ以上の共通部分の積の式も確かめる。
$S (x) = exp (- \int_{0}^{x} h (t) d t)$ と、ハザード一定 ⇔ 指数分布を導けるようにする。
連続型の周辺密度・条件付き密度は、密度が正の領域を図に描いて積分範囲を決める。
$E [E [X ∣ Y]] = E [X]$ と $V [X] = E [V [X ∣ Y]] + V [E [X ∣ Y]]$ は、混合分布や階層的なモデルの平均・分散を求めるときに使う。

この章の出典

統計検定1級出題範囲表（2015年5月8日版、PDF）